Question

11．已知a為非零常實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{x-2a}{ax+{a}^{2}}$的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=f（e^x）．（1）若a＞0，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$恒成立，求a的取值范圍；
（2）如果點(diǎn)P在第四象限，當(dāng)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）對(duì)任意n∈R，函數(shù)g（x）在區(qū)間[n，n+2]上恒有意義，且在區(qū)間[n，n+2]上的最大值、最小值分別記為M（n），m（n），當(dāng)且僅當(dāng)n=-1時(shí)，M（n）-m（n）取得最大值，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將f（x）變形，可得f（x）在[3，4]遞增，求得最小值，再由不等式恒成立思想，可得a的范圍；
（2）求得對(duì)稱中心為P（-a，$\frac{1}{a}$），由兩點(diǎn)距離和基本不等式可得a=-1，假設(shè)存在實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3，化簡(jiǎn)整理，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到矛盾；
（3）判斷g（x）在[n，n+2]遞增，求得最大值、最小值，作差，化簡(jiǎn)變形，運(yùn)用變量分離，再由基本不等式，結(jié)合等號(hào)成立的條件，可得a=±1時(shí)，取得最大值．

解答 解：（1）由a＞0，f（x）=$\frac{x-2a}{ax+{a}^{2}}$=$\frac{1}{a}$（1+$\frac{-3a}{x+a}$）
在[3，4]上遞增，即有f（x）的最小值為f（3）=$\frac{3-2a}{3a+{a}^{2}}$，
當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$恒成立，即有
f（x）_min＞$\frac{1}{4}$，即為$\frac{3-2a}{3a+{a}^{2}}$＞$\frac{1}{4}$，
即有a²+11a-12＜0，
解得-12＜a＜1，
由a＞0可得0＜a＜1；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{x-2a}{ax+{a}^{2}}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{x+a}$的對(duì)稱中心為P（-a，$\frac{1}{a}$），
由題意可得a＜0，|PO|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí)取得最小值），
則f（x）=$\frac{x+2}{-x+1}$，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3，
即有f（${e}^{{x}_{1}}$）-f（${e}^{{x}_{2}}$）=3，即為$\frac{-3}{{e}^{{x}_{1}}-1}$+$\frac{3}{{e}^{{x}_{2}}-1}$=3，
即為${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$-1，①
由x₁＜0，可得${e}^{{x}_{1}}$-1＜0，而${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，
①式不成立，故不存在實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3；
（3）g（x）=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{a+{e}^{x}}$在[n，n+2]上遞增，
則M（n）=g（n+2）=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{a+{e}^{n+2}}$，m（n）=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{a+{e}^{n}}$，
M（n）-m（n）=$\frac{-3}{a+{e}^{n+2}}$-$\frac{-3}{a+{e}^{n}}$=3（$\frac{1}{a+{e}^{n}}$-$\frac{1}{a+{e}^{n+2}}$）
=3•$\frac{{e}^{n+2}-{e}^{n}}{（a+{e}^{n}）（a+{e}^{n+2}）}$=3•$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{n+2}+\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}+a（{e}^{2}+1）}$
由eⁿ⁺²+$\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}$≥2$\sqrt{{e}^{n+2}•\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}}$=2e|a|．
當(dāng)且僅當(dāng)n=-1，即e=ea²，即有a=±1，取得等號(hào)．
即有n=-1，a=±1時(shí)，M（n）-m（n）取得最大值2e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性及運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．