Question

（1）用導數(shù)證明：若x∈（0，

π

2

），則sinx＜x＜tanx．
（2）若a＜

sinx

x

＜b對x∈（0，

π

2

）恒成立，求a的最大值與b的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，x∈（0，

π

2

），f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=

1

cos2x

-1＞0，由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明sinx＜x＜tanx，x∈（0，

π

2

）．
（2）當x＞0時，“

sinx

x

＞a”等價于“sin x-ax＞0”，“

sinx

x

＜b”等價于“sin x-bx＜0”．令g（x）=sin x-cx，則g′（x）=cos x-c．利用利用分類討論思想和導數(shù)性質(zhì)能求出a的最大值與b的最小值．

解答： （1）證明：設(shè)f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，x∈（0，

π

2

），
f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=

1

cos2x

-1＞0，
由于f（x）和g（x）在（0，

π

2

）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x-sinx＞0，tanx-x＞0=＞x＞sinx，tanx＞x，
∴sinx＜x＜tanx，x∈（0，

π

2

）．…6分
（2）解：當x＞0時，“

sinx

x

＞a”等價于“sin x-ax＞0”，
“

sinx

x

＜b”等價于“sin x-bx＜0”．
令g（x）=sin x-cx，則g′（x）=cos x-c．
①當c≤0時，g（x）＞0對任意x∈（0，

π

2

）恒成立．
②當c≥1時，因為對任意x∈（0，

π

2

），g′（x）=cos x-c＜0，
∴g（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，
從而g（x）＜g（0）=0對任意x∈（0，

π

2

）恒成立．…8分
③當0＜c＜1時，存在唯一的x₀∈（0，

π

2

）使得g′（x₀）=cos x₀-c=0．
g（x）與g′（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上的情況如下：

x	（0，x0）	x0	（x0， π 2 ）
g′（x）	+	0	-
g（x）	遞增		遞減

∵g（x）在區(qū)間（0，x₀）上是增函數(shù)，
∴g（x₀）＞g（0）=0．
于是“g（x）＞0對任意x∈（0，

π

2

）恒成立”當且僅當g（

π

2

）=1-

π

2

c≥0，即0＜c≤

2

π

．…11分
綜上所述，當且僅當c≤

2

π

時，g（x）＞0對任意x∈（0，

π

2

）恒成立；
當且僅當c≥1時，g（x）＜0對任意x∈（0，

π

2

）恒成立．
∴若a＜

sinx

x

＜b對任意x∈（0，

π

2

）恒成立，
則a的最大值為

2

π

，b的最小值為1．…13分．

點評：本題考查不等式的證明，考查實數(shù)的最大值和最小值的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法、分類討論思想和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．