Question

1．在△ABC中，記角A，B，C的對邊為a，b，c，角A為銳角，設(shè)向量$\overrightarrow m$=（cosA，sinA），$\overrightarrow n$=（cosA，-sinA），且$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$
（I）求角A的大小及向量$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角；
（II）若a=$\sqrt{5}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，由$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$求得cos2A=$\frac{1}{2}$，可得A的值．再根據(jù)兩個向量的數(shù)量積的定義求得向量$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角．
（II）由條件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面積$\frac{1}{2}$bc•sinA的最大值．

解答 解：（I）在△ABC中，由$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$求得cos2A=$\frac{1}{2}$，可得$A=\frac{π}{6}$．
再根據(jù)$\overrightarrow m•\overrightarrow n=|\overrightarrow m|•|\overrightarrow{n|}•cos＜\overrightarrow{m，}\overrightarrow{n＞}=\frac{1}{2}$=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞，求得cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$，
可得向量$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
（II）∵a=$\sqrt{5}$，A=$\frac{π}{6}$，由余弦定理可得a²=5=b²+c²-2bc•cosA≥2bc-$\sqrt{3}$bc，
求得 bc≤10+5$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，故△ABC面積$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{bc}{4}$的最大值為$\frac{10+5\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．