Question

7．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求異面直線BC₁與AA₁所成的角的大��；
（2）求三棱錐B₁-A₁C₁B的體積；
（3）求證：BD₁⊥面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）由AA₁∥BB₁可得∠C₁BB₁為異面直線BC₁與AA₁所成的角；
（2）以A₁B₁C₁為棱錐底面，則BB₁為棱錐的高，代入體積公式計(jì)算即可；
（3）通過證明AB₁⊥平面A₁BD₁得出AB₁⊥BD₁，B₁C⊥平面BC₁D₁得出B₁C⊥BD₁，從而BD₁⊥面AB₁C．

解答 證明：（1）∵AA₁∥BB₁，
∴∠C₁BB₁為異面直線BC₁與AA₁所成的角．
∵BB₁=B₁C₁，∠BB₁C₁=90°，
∴∠C₁BB₁=45°．即異面直線BC₁與AA₁所成的角為45°．
（2）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}B}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
（3）∵A₁D₁⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴A₁D₁⊥AB₁，
∵四邊形AA₁B₁B是正方形，
∴AB₁⊥A₁B，又A₁D₁?平面A₁BD₁，A₁B?平面A₁BD₁，A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BD₁，∵BD₁?平面A₁BD₁，
∴AB₁⊥BD₁，
同理可證：B₁C⊥BD₁，
又AB₁?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，AB₁∩B₁C=B₁，
∴BD₁⊥面AB₁C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間角的計(jì)算，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．