Question

17．通過伸縮變換，下列曲線形態(tài)可能發(fā)生是（　　）
（1）直線（2）圓（3）橢圓（4）雙曲線（5）拋物線．

• A． （2）（3）
• B． （1）（4）（5）
• C． （1）（2）（3）
• D． （2）（3）（4）（5）

Answer 1

分析 分別求出各曲線在變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$后的曲線，根據(jù)變換后的曲線方程判斷曲線形態(tài)是否發(fā)生變化．

解答 解：設(shè)變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{λ}}\\{y=\frac{y′}{μ}}\end{array}\right.$，
（1）直線ax+by+c=0在變換作用下變?yōu)?\frac{a}{λ}x′$+$\frac{μ}y′$+c=0，仍表示一條直線，
（2）圓x²+y²+Dx+Ey+F=0在變換作用下變?yōu)?\frac{x{′}^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}}$+$\frac{D}{λ}x′$+$\frac{E}{μ}y′$+F=0，
∴當λ²≠μ²時，曲線表示橢圓．
（3）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$在變換作用下變?yōu)?\frac{x{′}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$+$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}^{2}}$=1，
∴當λ²a²=μ²b²時，曲線表示圓．
（4）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$在變換作用下變?yōu)?\frac{x{′}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}^{2}}$=1，曲線仍是雙曲線．
（5）拋物線y²=2px在變換作用下變?yōu)?\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}}$=$\frac{2p}{λ}x′$，即y′²=$\frac{2p{μ}^{2}}{λ}$x′，曲線仍是拋物線．
故選A．

點評 本題考查了伸縮變換，曲線方程與形狀判斷，屬于基礎(chǔ)題．