Question

在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，AP=9，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，求矩形PQCR面積的最小值和最大值，并指出取最大值時(shí)P的具體位置．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)AP，延長(zhǎng)RP交AB于H，設(shè)∠HAP=θ，把矩形PQCR的面積用含θ的代數(shù)式表示，換元后利用配方法求函數(shù)的最值．

解答： 解：如圖，
θ
連結(jié)AP，延長(zhǎng)RP交AB于H，設(shè)∠HAP=θ，則PH=9sinθ，AH=9cosθ，
設(shè)矩形PQCR的面積為y，
則y=PR•PQ=（10-9sinθ）（10-9cosθ）=100-90（sinθ+cosθ）+81sinθcosθ．
設(shè)sinθ+cosθ=t，
則sinθcosθ=

t2-1

2

，
又t=

2

sin(θ+

π

4

)，θ∈(0， 

π

2

)，
∴1＜t≤

2

，
∴y=

81t2

2

-90t+

119

2

=

81

2

(t-

10

9

)2+

19

2

（1＜t≤

2

）．
∵

10

9

∈(1， 

2

]，
∴當(dāng)t=

10

9

時(shí)，ymin=

19

2

．
當(dāng)t=

2

時(shí)，ymax=

281-180 2

2

．
此時(shí)，

2

sin(θ+

π

4

)=

2

，
又

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，∴θ=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的最值，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵是把矩形PQCR面積表示為一個(gè)角的函數(shù)，是中檔題．