Question

已知直線y=mx（m∈R）與函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x(x≤0) 1 2 x2+1(x＞0)

的圖象恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)條件可得當(dāng)直線y=mx和y=

1

2

x² 相交，把直線y=mx代入y=

1

2

x²，利用判別式△大于零，
求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：根據(jù)直線y=mx（m∈R）與函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x(x≤0) 1 2 x2+1(x＞0)

的圖象
恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出直線y=mx（m∈R）與
函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x(x≤0) 1 2 x2+1(x＞0)

的圖象．
則由圖象可得，當(dāng)直線y=mx和y=

1

2

x² （x＞0）相交時(shí)，
直線y=mx和函數(shù)f（x）的圖象（圖中紅線）有3個(gè)交點(diǎn)．
由

y=mx y= 1 2 •x2+1

 可得 x²-2mx+2=0，再由判別式△=4m²-8＞0，
求得m＞

2

，或 m＜-

2

 （舍去）．
故m的范圍為 （

2

，+∞），
故答案為 （

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，本題由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷，屬于中檔題．