Question

12．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$是[b-1，a]上的偶函數(shù)，求f（a-b）的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$是[b-1，a]上的偶函數(shù)，
∴定義域關(guān)于原點對稱，則b-1+a=0，即a+b-1=0，
且f（-x）=f（x），
即$\frac{{x}^{2}-（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$=$\frac{{x}^{2}+（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$，
則a-b-2=0，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=$-\frac{1}{2}$，
則a-b=$\frac{3}{2}$-（$-\frac{1}{2}$）=2，
則f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2}$，則f（a-b）=f（2）=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}+2}$=$\frac{5}{6}$．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．