Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{2}{x}，（x＞\frac{1}{2}）}\\{{x}^{2}+2x+a-1，（x≤\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$（其中a＞0，a為常數(shù)），求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)的定義，分類討論，即可求出函數(shù)的零點(diǎn)．

解答 解：①x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=0，即x-$\frac{2}{x}$=0，解得x=$\sqrt{2}$；
②當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=x²+2ax+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a，
當(dāng)a＞2時(shí)，△＜0，f（x）=0無實(shí)根；     
當(dāng)a=2時(shí)，△=0，f（x）=0，解得x=-1
∵x∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）有一個零點(diǎn)-1            
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，△＞0，x²+2ax+a-1=0，解得x=-1±$\sqrt{2-a}$，
∵-1-$\sqrt{2-a}$＜0＜$\frac{1}{2}$，-1+$\sqrt{2-a}$＜-1+$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴-1±$\sqrt{2-a}$都是f（x）的零點(diǎn)．                                
綜上所述，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：$\sqrt{2}$；
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：$\sqrt{2}$和-1，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：$\sqrt{2}$和-1+$\sqrt{2-a}$，-1-$\sqrt{2-a}$

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題