Question

16．已知f²（x+1）+f²（x）=9，求函數(shù)f（x）的周期．

Answer 1

分析 令x取x-1代入f²（x+1）+f²（x）=9得：f²（x）+f²（x-1）=9，聯(lián)立兩個(gè)式子后化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的周期定義分別求出函數(shù)的周期．

解答 解：∵f²（x+1）+f²（x）=9，
∴令x取x-1代入上式得，f²（x）+f²（x-1）=9，
則f²（x+1）+f²（x）=f²（x）+f²（x-1），
即f²（x+1）=f²（x-1），
∴[f（x+1）-f（x-1）][f（x+1）+f（x-1）]=0，
①、當(dāng)f（x+1）-f（x-1）=0時(shí)，有f（x+1）=f（x-1），則f（x）=f（x+2），
∴函數(shù)f（x）的周期是2；
②當(dāng)f（x+1）+f（x-1）=0時(shí)，有f（x+1）=-f（x-1），
則f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期定義，以及化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．