Question

5．已知命題p：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$為R上的單調(diào)函數(shù)，則使命題p成立的一個(gè)充分不必要條件為（　�。�

• A． a∈（-1，0）
• B． a∈[-1，0）
• C． a∈（-2，0）
• D． a∈（-∞，-2）

Answer 1

分析 求出使函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$為R上的單調(diào)函數(shù)的a的范圍，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$為R上的單調(diào)增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a+2＞0\\ a+2≤1\end{array}\right.$，此時(shí)不存在滿足條件的a值；
若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$為R上的單調(diào)減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ a+2＞0\\ a+2≥1\end{array}\right.$，解得：a∈[-1，0），
故使命題p成立的一個(gè)充分不必要條件為a∈（-1，0），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，充要條件，分類討論思想，難度中檔．