Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）． 在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線(xiàn)C的方程為ρ sinθtanθ=2a （a＞0）．
（1）求出直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的普通方程；
（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)（3，-$\sqrt{5}$），曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若|PA|=|PB|，求實(shí)數(shù)a值．

Answer 1

分析 （1）直線(xiàn)l的參數(shù)方程中消去參數(shù)t，能求出直線(xiàn)l的普通方程；由已知曲線(xiàn)C的方程為ρ sinθtanθ=2a （a＞0），由此能求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）利用參數(shù)的幾何意義，結(jié)合|PA|=|PB|，求實(shí)數(shù)a值．

解答 解：（1）由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，可得普通方程x+y+3+$\sqrt{5}$=0；曲線(xiàn)C的方程為ρ sinθtanθ=2a （a＞0），
直角坐標(biāo)方程為y²=2ax（x≥0）；
（2）把直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程得t²+（2$\sqrt{2}$a-2$\sqrt{10}$）t+10-12a=0，
∵|PA|=|PB|，∴2$\sqrt{2}$a-2$\sqrt{10}$=0，∴a=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的普通方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．