Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1．求證：
（1）數(shù)列{a_n+1-2a_n}和{a_n+1-

1

2

a_n}都是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{2^n-3a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）2（a_n+a_n+2）=5a_n+1．求可得2（a_n+2-2a_n+1）=a_n+1-2a_n，a_n+2-

1

2

a_n+1=2（a_n+1-

1

2

a_n），根據(jù)等比數(shù)列的定義判定出數(shù)列都是等比數(shù)列；
（2）由（1）解的a_n，再求出2^n-3a_n=

2

3

（2-2^2n-5），再求出前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴2a_n+2a_n+2=5a_n+1，
∴2（a_n+2-2a_n+1）=a_n+1-2a_n，
∴

an+2-2an+1

an+1-2an

=

1

2

，
∴a₂-2a₁=2-2×5=-8，
∴{a_n+1-2a_n}是以-8為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
∴a_n+1-2a_n=-8×(

1

2

)n-1①
∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴a_n+2-

1

2

a_n+1=2（a_n+1-

1

2

a_n）
∴

an+2- 1 2 an+1

an+1- 1 2 an

=2，
∴a₂-

1

2

a₁=2-

1

2

×5=-

1

2

，
∴{a_n+1-

1

2

a_n}是以-

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
∴a_n+1-

1

2

a_n=-

1

2

×2n-1②，
（2）由（1）知a_n+1-2a_n=-8×(

1

2

)n-1①
a_n+1-

1

2

a_n=-

1

2

×2n-1②，
由①②解得
a_n=

2

3

（2^4-n-2^n-2），
驗(yàn)證a₁=5，a₂=2適合上式，
∴2^n-3a_n═

2

3

（2^4-n-2^n-2）•2^n-3=

2

3

（2-2^2n-5）
∴S_n=

2

3

（2-2^-3）+

2

3

（2-2^-1）+

2

3

（2-2）+…+

2

3

（（2-2^2n-5）=

2

3

[2n-（2^-3+2^-1+2+…+2^2n-5）]=

2

3

[2n-

1 8 (1-4n)

1-4

]=

4n

3

+

4n

36

-

1

36

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的求和問題．解題的關(guān)鍵是對(duì)等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的熟練掌握，屬于中檔題