Question

9．如圖，五面體ABCDFE中，△ABE是邊長為2的等邊三角形，AD∥BC∥EF，AD=EF=2BC=2，AD⊥平面ABE．
（1）求證：平面ABF⊥平面CDE；
（2）求二面角A-EF-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）取BE中點O，CF中點M，連接OA，OM，根據(jù)已知條件容易說明OE，OM，OA三直線兩兩垂直，從而可分別以這三條直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知的邊的長度可求出A，B，C，D，F(xiàn)，E六點的坐標(biāo)．能夠說明四邊形ADFE為正方形，從而AF⊥DE，求數(shù)量積$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}$=0，從而AF⊥CD，根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理即可證明平面ABF⊥平面CDE；
（2）顯然$\overrightarrow{OA}$為平面CEF的法向量，可設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$可求出$\overrightarrow{n}$，可設(shè)二面角A-EF-C的大小為θ，從而根據(jù)cosθ=$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OA}＞$即可求出θ．

解答 解：（1）證明：取BE中點O，CF中點M，連接AO，MO，則MO∥BC；
∵△ABE為等邊三角形，∴AO⊥BE；
∵AD⊥平面ABE，BC∥AD；
∴BC⊥平面ABE；
∴平面BCFE⊥平面ABE，平面BCFE∩平面ABE=BE；
∴AO⊥平面BCFE；
又MO∥BC，∴MO⊥平面ABE；
∴OE，OM，OA三條直線兩兩垂直，所以分別以這三條直線為x，y，z軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：

O（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，0，0），C（-1，1，0），D（0，2，$\sqrt{3}$），E（1，0，0），F(xiàn)（1，2，0）；
根據(jù)已知條件知四邊形ADFE為正方形；
AF⊥DE；
$\overrightarrow{AF}=（1，2，-\sqrt{3}），\overrightarrow{CD}=（1，1，\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}=0$；
∴$\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{CD}$；
∴AF⊥CD，DE∩CD=D；
∴直線AF⊥平面CDE，AF?平面ABF；
∴平面ABF⊥平面CDE；
（2）由上面知$\overrightarrow{OA}$為平面CEF的一條法向量，且$\overrightarrow{OA}=（0，0，\sqrt{3}）$；
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EF}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，0，1）$；
設(shè)二面角A-EF-C的大小為θ，則：
cosθ=cos$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{n}＞$═$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$；
∴二面角A-EF-C的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 考查平行線中一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面，面面垂直的判定定理及其性質(zhì)定理，正方形的對角線互相垂直，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明面面垂直，以及求二面角的方法，非零向量相互垂直的充要條件，線面垂直的判定定理，平面法向量的概念及求法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，二面角的概念．