Question

7．在銳角△ABC中，角A，B，C分別對應邊a，b，c，且a=2bsin A，則cos A-sin C的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，由sinA≠0，可得sinB，進而可求B，利用三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得cos A-sin C=sin（$\frac{π}{6}$-A），結合A的范圍，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 解：在銳角△ABC中，∵a=2bsin A，
∴由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，由sinA≠0，可得：sinB=$\frac{1}{2}$，
∵B為銳角，可得：B=$\frac{π}{6}$，
∴cos A-sin C=cosA-sin（π-A-B）=cosA-sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（$\frac{π}{6}$-A），
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：$\frac{π}{6}$-A∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
∴利用正弦函數的圖象和性質可得：sin（$\frac{π}{6}$-A）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴cos A-sin C=sin（$\frac{π}{6}$-A）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．