Question

已知函數(shù)f（x）=5sinx•cosx-5

3

cos²x+

5

2

3

（x∈R）．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角公式，兩角和與差的正弦公式化簡可得解析式f（x）=5sin（2x-

π

3

），由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求T的值．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

可解得單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=5sinx•cosx-5

3

cos²x+

5

2

3

=

5

2

sin2x-5

3

×

1+cos2x

2

+

5

2

3

=

5

2

sin2x-

5 3

2

cos2x=5sin（2x-

π

3

）
∴T=

2π

2

=π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可解得：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

可解得：x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．
（3）f（x）_max=5，f（x）_min=-5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．