Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4lnx，a∈R．
（1）當a=

1

2

時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=

1

2

時，f（x）=

1

2

x²-4lnx的定義域為（0，+∞）；求導f′（x）=x-

4

x

；從而求切線方程；
（2）求導f′（x）=ax-

4

x

=

ax2-4

x

；討論a以確定函數(shù)的單調性的判斷．

解答： 解：（1）當a=

1

2

時，f（x）=

1

2

x²-4lnx的定義域為（0，+∞）；
f′（x）=x-

4

x

；
則f′（1）=1-4=-3，f（1）=

1

2

；
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為
y=-3（x-1）+

1

2

；
故6x+2y-7=0；
（2）f′（x）=ax-

4

x

=

ax2-4

x

；
當a≤0時，f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）=ax²-4lnx在（0，+∞）上是減函數(shù)，
當a＞0時，x∈（0，

2 a

a

）時，f′（x）＜0；
x∈（

2 a

a

，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，

2 a

a

）上是減函數(shù)，在（

2 a

a

，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及導數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．