Question

若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
（1）猜想正整數(shù)a的最大值，
（2）并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，即，
所以a＜26，
a是正整數(shù)，所以猜想a=25．
（2）下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①當(dāng)n=1時(shí)，已證；
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
有
=

因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/425070.png' />
所以，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由①②知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有，
所以a的最大值等于25．…（14分）
分析：（1）首先求出n=1時(shí)，一個(gè)不等式猜想a的最大值．
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過(guò)n=1，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，證明n=k+1時(shí)猜想也成立，即可證明結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的步驟，注意證明n=k+1時(shí)必須用上假設(shè)，注意證明的方法，考查計(jì)算能力．