Question

10．在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，側(cè)棱OO′⊥面OAB，OA=OB=OO′=2，若C為線段O′A的中點，在線段BB′上求一點E，使|EC|最�。�

Answer 1

分析 畫出圖形，轉(zhuǎn)化距離為三角形BCB′的高即可．

解答 解：如圖：由題意三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，側(cè)棱OO′⊥面OAB，OA=OB=OO′=2，C為線段O′A的中點，在線段BB′上求一點E，使|EC|最小．
可知：就是三角形BCB′的底邊BB′上的高，
由題意BO⊥平面AOO′A′，作CF⊥AO于F，F(xiàn)為AO的中點．
BC=$\sqrt{{CF}^{2}+{BF}^{2}}$=${\sqrt{1+（\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{6}$，
B′C=$\sqrt{{BF}^{2}+（BB′{-CF）}^{2}}$=$\sqrt{（{\sqrt{5}）}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{6}$，可得三角形BCB′是等腰三角形，
底邊BB′上的高為|EC|最小值：$\sqrt{{（\sqrt{6}）}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{5}$．

點評 本題考查空間幾何體的距離的求法，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．