Question

18．如圖所示的三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且PB=1，PA=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$．
（1）求其體積．（一直線和一平面內(nèi)兩相交直線垂直，則直線與平面垂直）
（2）求點(diǎn)P到面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，利用三棱錐的體積公式，即可求其體積；
（2）利用等體積求點(diǎn)P到面ABC的距離．

解答 解：（1）∵三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且PB=1，PA=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}•\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）△ABC的三邊長(zhǎng)為2，3，$\sqrt{7}$，∴cosB=$\frac{4+9-7}{2×2×3}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)P到面ABC的距離是h，則$\frac{1}{3}•\frac{3\sqrt{3}}{2}h=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴h$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．