Question

已知函數(shù)f（X）=

x2+a

ex

（x∈R）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-15時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

對(duì)一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-15時(shí)，f'（x）=（-x²+2x+15）e^-x=-（x-5）（x+3）e^-x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）f'（x）=-（x²-2x+a）e^-x，由題意得當(dāng)

1

e

≤x≤e時(shí)，f'（x）≥0，從而x²-2x+a≤0恒成立，由此構(gòu)造函數(shù)能求出a的范圍．
（3）令a=1，得f'（x）=-（x²-1）²e^-x≤0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

對(duì)一切n∈N^*恒成立

解答： （1）解：當(dāng)a=-15時(shí)，f（x）=（x²-15）e^-x，
f'（x）=（-x²+2x+15）e^-x=-（x-5）（x+3）e^-x，
由f'（x）＞0，解得-3＜x＜5，
∴f（x）在區(qū)間（-3，5）上單調(diào)遞增，
在區(qū)間（-∞，3），（5，+∞）上單調(diào)遞減．…（4分）
（2）f'（x）=-（x²-2x+a）e^-x，
由題意得當(dāng)

1

e

≤x≤e時(shí)，f'（x）≥0，
∴x²-2x+a≤0恒成立，
令g（x）=x²-2x+a，有

g( 1 e )≤0 g(e)≤0

，得a≤2e-e²，
∴a的范圍是（-∞，2e-e²]．…（9分）
（3）證明：令a=1得f(x)=

x2+1

ex

，f'（x）=-（x²-1）²e^-x≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
對(duì)于任意k∈N*，都有k＞

1

2

，故有f(k)＜f(

1

2

)，
即

k2+1

ek

＜

5

4 e

⇒

n

k=1

k2+1

ek

＜

5n

4 e

，
∴

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

對(duì)一切n∈N^*恒成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法和分類討論思想的合理運(yùn)用．