【題目】已知函數(shù)在上的最大值為.

（1）求的解析式；

（2）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】（1）（2）有且僅有個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）由，求導(dǎo)得到，根據(jù)函數(shù)在上的最大值為，利用唯一的極值點(diǎn)為最值點(diǎn)求解.

（2）由（1）得到，求導(dǎo)，設(shè)，分，， ， 四種情況用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.

（1）由，得，

令，得；令，得，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

故在處有極大值，也是的最大值，

所以，∴，

故.

（2）∵，

∴，

設(shè)，

（i）當(dāng)時(shí)，∴，所以單調(diào)遞減.

又，，從而在上存在唯一零點(diǎn).也即在上存在唯一零點(diǎn).

（ii）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，，

所以存在，，且在上，在上，

所以為在上的最大值，

又因?yàn)?/span>，，

所以在上恒大于零，無(wú)零點(diǎn).

（iii）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.

，所以在上單調(diào)遞增.

又，，

所以在上存在唯一零點(diǎn).

（iiii）當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，

∴，

所以在上單調(diào)遞減，所以，即.

∴在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，

所以在無(wú)零點(diǎn)，

綜上，有且僅有個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過(guò)．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成．

（1）求出甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；

（2）若考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形是底角為的等腰梯形，且，沿直線(xiàn)將翻折成，所成二面角的平面角為，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓，橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的取值范圍為.

（1）求橢圓的方程；

（2），，，分別與橢圓相切，且，，，如圖，，，，圍成的矩形的面積記為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在極坐標(biāo)系中，，，弧，，所在圓的圓心分別為，，，曲線(xiàn)是弧，曲線(xiàn)是弧，曲線(xiàn)是弧．

（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)，，的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線(xiàn)由，，構(gòu)成，若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（，，，），寫(xiě)出曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的所有公共點(diǎn)（除極點(diǎn)外）的極坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（題文）已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓與兩點(diǎn)，，且當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求弦長(zhǎng)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四邊形ABCD中，BD為四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)，且，將沿BD向上翻折，當(dāng)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的投影恰好為的外心E時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AE與平面ABC，ACD，ABD的夾角分別為，，，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為射線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)A,傾斜角為α的直線(xiàn)l過(guò)線(xiàn)段OA的中點(diǎn)B且與曲線(xiàn)C交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程及直線(xiàn)l的參數(shù)方程;

(2)當(dāng)直線(xiàn)l傾斜角α為何值時(shí), |BP|·|BQ|取最小值, 并求出|BP|·|BQ|最小值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案