Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值為12，且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（0，5）． 
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，得到方程解出即可，（2）問題轉(zhuǎn)化為|2cosx+

1

2

|＜|cosx+m+

3

2

|，解不等式求出即可．

解答： 解：（1）由題意設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax（x-5），且a＞0，
再根據(jù)在區(qū)間[-1，4]上的最大值為f（-1）=6a=12，求得 a=2，
可得f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．
（2）因?yàn)閒（x）的對(duì)稱軸為x=

5

2

且其圖象開口向上
所以f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）     等價(jià)于
|2-2cosx-

5

2

|＜|1-cosx-m-

5

2

|即|2cosx+

1

2

|＜|cosx+m+

3

2

|
令t=cosx+

3

2

∈[

1

2

，

5

2

]即|2t-

5

2

|＜|t+m|m+t＞2t-

5

2

，m+t＜-2t+

5

2

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m＞1或m＜-5}

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．