Question

在雅安發(fā)生地震災害之后，救災指揮部決定建造一批簡易房，供災區(qū)群眾臨時居住，房形為長方體，高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側用2.5米高的復合鋼板，兩種鋼板的價格都用長度來計算（即鋼板的高均為2.5米，用長度乘以單價就是這塊鋼板的價格），每米單價：彩色鋼板為450元，復合鋼板為200元，房頂用其他材料建造，每平方米材料費為200元，每套房材料費控制在32000元以內．
（1）設房前面墻的長為x，兩側墻的長為y，一套簡易房所用材料費為p，試用x，y表示p；
（2）一套簡易房面積S的最大值是多少？當S最大時，前面墻的長度是多少？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）根據題意可分別求得前面墻，兩側墻和房頂的費用，三者相加即可求得P．
（2）利用P的表達式和基本不等式求得關于

S

的不等式關系，求得

S

的范圍，以及等號成立條件求得x的值．

解答： 解：（1）依題得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy；
（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥2

900×400S

+200S=200S+1200

S

又因為p≤32000，所以200S+1200

S

≤32000，化簡得S+6

S

-160≤0，
解得-16≤

S

≤10，又S＞0，∴0＜S≤100，當且僅當

900x=400y xy=100

，即x=

20

3

時S取得
最大值．
答：每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當S最大時前面墻的長度是

20

3

米．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．