Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥EF；
（2）求直線(xiàn)EF與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=t，可得相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，AC⊥BD，可得

AC

•

BD

=-t²+2+0=0，求出t，進(jìn)而證明

AC

⊥

EF

，可得AC⊥EF；
（2）求出平面PCD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得直線(xiàn)EF與平面PCD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）易知AB，AD，A P兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB=t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E(

t

2

，0，1)F（0，1，0）．…（2分）
從而

EF

=（-

t

2

，1，-t），

AC

=（t，1，0），

BD

=（-t，2，0）．
因?yàn)锳C⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t²+2+0=0．
解得t=

2

或t=-

2

（舍去）．                      …（4分）
于是

EF

=（-

2

2

，1，-1），

AC

=（

2

，1，0）．
因?yàn)?span id="uh7to62" class="MathJye">

AC

•

EF

=-1+1+0=0，所以

AC

⊥

EF

，即AC⊥EF．    …（6分）
（2）由（1）知，

PC

=（

2

，1，-2），

PD

=（0，2，-2）．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PCD的一個(gè)法向量，則

2 x+y-2z=0 2y-2z=0

令z=

2

，則

n

=（1，

2

，

2

）．                          …（9分）
設(shè)直線(xiàn)EF與平面PCD所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

EF

＞|=

1

5

．
即直線(xiàn)EF與平面PCD所成角的正弦值為

1

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，直線(xiàn)與平面所成的角，考查邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．