Question

12．7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7被9除以所得的余數(shù)為7．

Answer 1

分析 化簡7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7=（1+7）¹¹-1=（9-1）¹¹-1，
再按二項(xiàng)式展開，得出上述展開式被9整除后的余數(shù)是多少．

解答 解：∵7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7=${C}_{11}^{0}$•7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7+${C}_{11}^{11}$•7⁰-1
=（1+7）¹¹-1
=（9-1）¹¹-1
=${C}_{11}^{0}$•9¹¹•（-1）⁰+${C}_{11}^{1}$•9¹⁰•（-1）¹+…+${C}_{11}^{10}$•9•（-1）¹⁰+${C}_{11}^{11}$•9⁰•（-1）¹¹-1，
且上述展開式中只有最后兩項(xiàng)不能被9整除，
即${C}_{11}^{11}$•9⁰•（-1）¹¹-1=-2＜0，
∴該展開式被9整除后所得的余數(shù)9-2=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)的整除和余數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．