13.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AA1=AB=BC=2,AD=1.
(1)證明:在平面BB1C上,一定存在過點C的直線l與直線A1D平行.
(2)求二面角A1-CD-A的余弦值.

分析 (1)建立坐標(biāo)系,利用向量法結(jié)合線面平行的判定定理進行判斷即可.
(2)求平面的法向量,利用向量法即可求二面角A1-CD-A的余弦值.

解答 證明:(1)∵,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,
∴以A為坐標(biāo)原點,以AD,AB,AA1分別為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系如圖:
∵AA1=AB=BC=2,AD=1.
∴A(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),
A1(0,0,2),
則$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=(1,0,-2),$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=(0,0,1),$\overrightarrow{CB}$=(-2,0,0),
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{C{C}_{1}}$-2$\overrightarrow{CB}$,
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$∥平面BB1C,
即在平面BB1C上,一定存在過點C的直線l與直線A1D平行.
(2)設(shè)平面A1CD的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=(1,0,-2),$\overrightarrow{DC}$=(1,2,0),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$,
令x=2,則z=1,y=-1,即$\overrightarrow{m}$=(2,-1,1),
平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(0,0,1),
則cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
即二面角A1-CD-A的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

點評 本題主要考查空間線面平行的判定以及二面角的求解,建立空間坐標(biāo)系,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.

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