設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件.

（1），；（2）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.

解析試題分析：(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項(xiàng)和通項(xiàng)，通常都是取特值和寫一個(gè)遞推式相減即可.(2)由（1）得到，分析第1,2項(xiàng)可得后要證的問題等價(jià)于本題是通過利用對(duì)稱項(xiàng)的關(guān)系來(lái)證明的，該對(duì)稱項(xiàng)是通過對(duì)的范圍的討論得到的. 通過累加后得到，然后不等式的兩邊同時(shí)加上即可得到答案.
試題解析：⑴ ………①,
當(dāng)時(shí)代入①,得,解得;
由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,
故(對(duì)也滿足);
⑵當(dāng)或時(shí),顯然,等號(hào)成立.
設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:
 
即證:
當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立.
當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù);
當(dāng)時(shí),   與,()同為正;
因此當(dāng)且時(shí),總有 ()()>0,即
,().
上面不等式對(duì)從1到求和得,;
由此得 ;
綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.
考點(diǎn)：1.數(shù)列的求和與通項(xiàng)的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)分別是等比數(shù)列的第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列對(duì)任意，均有成立.
①求證：；   ②求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列前n項(xiàng)和=（）, 數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)=2，公比為q(q>0)且滿足，，為等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,，求Tn。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使的的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}滿足，，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)、、，使、、成等差數(shù)列，且、、 成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)遞增等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，是和的等比中項(xiàng)．
(l)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知為等差數(shù)列，且.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在數(shù)列中，（）．
（1）求的值；
（2）是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列？若存在，求的值及的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

數(shù)列滿足，且.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2) 若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

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