Question

20．已知曲線y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，B∈R）上的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{2}$-1），與此點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{7π}{3}$，-$\sqrt{2}$-1）．

（1）求這條曲線的函數(shù)解析式．
（2）在圖的平面直角坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)作圖法”畫出該曲線在[0，3π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）依題意可得A，B，T的值，利用周期公式可求$ω=\frac{2π}{4π}=\frac{1}{2}$，又$sin（\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+φ）=1$，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可求φ的值，從而可求函數(shù)解析式．
（2）列表描點(diǎn)連線，由五點(diǎn)法即可作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象．

解答 解：（1）依題意：$A=\sqrt{2}，B=-1，T=2（\frac{7π}{3}-\frac{π}{3}）=4π$，
∴$ω=\frac{2π}{4π}=\frac{1}{2}$，
∴$y=\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+φ）-1$，又$sin（\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+φ）=1$，
∴$\frac{π}{6}+φ=k+\frac{π}{2}{\;}^{\;}（k∈Z）{\;}^{\;}∴φ=kπ+\frac{π}{3}，又|φ|＜\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
∴$φ=\frac{π}{3}$，
∴$y=\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）-1$
（2）列表如下：

x	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{7π}{3}$	3π
$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
$y=\sqrt{2}sin（\frac{Χ}{2}+\frac{π}{3}）-1$	$\frac{{\sqrt{6}}}{2}-1$	$\sqrt{2}-1$	-1	$-\sqrt{2}-1$	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1$

描點(diǎn)，連線，可得函數(shù)圖象如下：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，屬于中檔題．