Question

9．在△ABC中，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，a=2，S_△ABC=$\sqrt{3}$，則b+c=4．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，將sinB=sin（A+C）代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后根據(jù)sinC不為0，再利用萬能公式化簡求出tan$\frac{A}{2}$的值，即可確定出A的度數(shù)，結(jié)合三角形面積公式可求bc，利用余弦定理即可得解．

解答 解：已知等式利用正弦定理化簡得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，即$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan$\frac{A}{2}$=$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．
∴S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，解得：bc=4，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，即4=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-12，解得：b+c=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．