Question

12．設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)于所有的正整數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)．
（1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）猜出通項(xiàng)公式，用數(shù)列歸納加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題意$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，令n=1，因?yàn)閟₁=a₁，可求出a₁的值，再反復(fù)代入，分別求出a₂，a₃，
（2）根據(jù)概率猜想通項(xiàng)公式a_n，利用歸納法進(jìn)行證明，假設(shè)n=k成立，然后利用已知條件驗(yàn)證n=k+1是否成立，從而求證．

解答 解：（1）由（$\frac{{a}_{n}+2}{2}$）²=2S_n，得S_n=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，可求得a₁=2，a₂=6，a₃=10，
（2）由此猜想{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4n-2（n∈N₊）．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即a_k=4k-2，
∴a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{（{a}_{k+1}+2）^{2}}{8}$，
∴（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k-4）=0，又a_k+1+a_k≠0
∴a_k+1-a_k-4=0，
∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4（k+1）-2
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
由①②可得a_n=4n-2（n∈N₊）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了遞推關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．