Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$（其中a＞0，e≈2.7）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，求證：對于任意大于1的正整數(shù)n，都有$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意可知：當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0恒成立，解出a的取值范圍即可．
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論，只要令a=1，x=$\frac{n}{n-1}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$，∴${f^'}（x）=\frac{ax-1}{{a{x^2}}}（a＞0）$，
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，
即$a≥\frac{1}{x}$對任意x∈[1，+∞）恒成立．
∵x∈[1，+∞）時，${（\frac{1}{x}）_{max}}=1$，
∴所求正實數(shù)a的取值范圍是a≥1．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，${f^'}（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
∴當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，1）$時，f′（x）＜0，
故f（x）在$[\frac{1}{2}，1）$上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x∈（1，2]時，f′（x）＞0，
故f（x）在（1，2]上單調(diào)遞增；
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有唯一極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，最小值為f（1）=0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（2）=-$\frac{1}{2}$+ln2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為1-ln2；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知lnx≥-$\frac{1-x}{x}$，
令x=$\frac{n}{n-1}$，則ln $\frac{n}{n-1}$≥$\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)n$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln $\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
即$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及證明不等式，充分理解導(dǎo)數(shù)的意義及掌握恰當(dāng)分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．