Question

18．已知函數(shù)f（x）=kxlnx（k≠0）有極小值-$\frac{1}{e}$．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)實數(shù)a，b滿足0＜a＜b．
①計算：${∫}_{a}^$|lnx-ln$\frac{a+b}{2}}$|dx；
②記①中計算結(jié)果G（a，b），求證：$\frac{1}{b-a}$G（a，b）＜ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)有極小值$-\frac{1}{e}$，求出k的值即可；
（2）①表示出|lnx-ln$\frac{a+b}{2}$|的分段形式，求出其在[a，b]上的積分即可；②問題轉(zhuǎn)化為證明ln$\frac{a}{a+b}$+$\frac{a}$ln$\frac{a+b}$＜-2ln2成立，令t=$\frac{a}$＞1，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=k（lnx+1），
k＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{k}{e}$=-$\frac{1}{e}$，解得：k=1，
k＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
∴x=$\frac{1}{e}$是極大值點，不合題意，
故k=1；
（2）①∵（xlnx）′=1+lnx，
∵0＜a＜b，∴|lnx-ln$\frac{a+b}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ln\frac{a+b}{2}，x＞\frac{a+b}{2}}\\{ln\frac{a+b}{2}-lnx，0＜x＜\frac{a+b}{2}}\end{array}\right.$，
∴：${∫}_{a}^$|lnx-ln$\frac{a+b}{2}}$|dx
=${∫}_{a}^{\frac{a+b}{2}}$（ln$\frac{a+b}{2}$-lnx）dx+${∫}_{\frac{a+b}{2}}^$（lnx-ln$\frac{a+b}{2}$）dx
=（1+ln$\frac{a+b}{2}$）${|}_{a}^{\frac{a+b}{2}}$-（xlnx）${|}_{a}^{\frac{a+b}{2}}$+（xlnx）${|}_{\frac{a+b}{2}}^$-（1+ln$\frac{a+b}{2}$）${|}_{\frac{a+b}{2}}^$
=blnb-$\frac{a+b}{2}$ln$\frac{a+b}{2}$-$\frac{a+b}{2}$ln$\frac{a+b}{2}$+alna
=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$，
②由①知：G（a，b）=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$，
∵0＜a＜b，
∴要證$\frac{1}{b-a}G（{a，b}）＜ln2$成立，
只需證明alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$＜（b-a）ln2成立，
只需證明alna+blnb-（a+b）ln（a+b）＜-2aln2成立，
只需證明ln$\frac{a}{a+b}$+$\frac{a}$ln$\frac{a+b}$＜-2ln2成立，
只需證明ln$\frac{1}{1+\frac{a}}$+$\frac{a}$ln$\frac{\frac{a}}{1+\frac{a}}$＜-2ln2成立，
令t=$\frac{a}$＞1，
只需證明ln$\frac{1}{1+t}$+tln$\frac{t}{1+t}$＜-2ln2（t＞1）成立，
設(shè)g（t）=ln$\frac{1}{1+t}$+tln$\frac{t}{1+t}$＜-2ln2（t＞1），
則g′（t）=-$\frac{1}{1+t}$=lnt-ln（1+t）+1-$\frac{1}{1+t}$=lnt-ln（1+t）＜0在t＞1恒成立，
∴g（t）在（1，+∞）遞減，
∴g（t）＜g（1）=ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1}{2}$=-2ln2，
即ln$\frac{1}{1+t}$+tln$\frac{t}{1+t}$＜-2ln2，
故$\frac{1}{b-a}G（{a，b}）＜ln2$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，函數(shù)恒成立問題，考查定積分知識以及不等式的證明，是一道綜合題．