Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，x≥1\\{x^3}，x＜1\end{array}$，若關(guān)于x的方程f（x）=x+m有兩個不同的實根，則實數(shù)所的取值范圍為0＜m＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 關(guān)于x的方程f（x）=x+m有兩個不同的實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，x≥1\\{x^3}，x＜1\end{array}$與y=x+m的圖象有兩個不同的交點，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

解答 解：由題意作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，x≥1\\{x^3}，x＜1\end{array}$與y=x+m的圖象如下，
，
當x＜1時，f（x）=x³，f′（x）=3x²，
令f′（x）=1解得，
x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
而f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
故m=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，或m=$\frac{\sqrt{3}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
結(jié)合圖象可知，
0＜m＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
故答案為：0＜m＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了方程與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用．