Question

有下列4個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=lg（

cosx-1

+

1-cosx

+1）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱(chēng)；
③若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f（1）=1，f（2）=2，則f（3）-f（4）=-1；
④已知

sinα

sinβ

=p，

cosα

cosβ

=q，且p≠±1，q≠0，則tanαtanβ=

p(q2-1)

q(p2-1)

；
其中假命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①，求出函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)后得到f（x）=0，由此可知命題①為真命題；
對(duì)于②，直接求出f(-

π

6

)的值加以判斷；
對(duì)于③，由函數(shù)的周期性、奇偶性結(jié)合已知求出f（3）、f（4）的值加以判斷；
對(duì)于④，通過(guò)三角恒等變換求解tanαtanβ的值進(jìn)行判斷．

解答： 解：對(duì)于①，由

cosx-1≥0 1-cosx≥0

，得cosx=1，
∴函數(shù)定義域?yàn)閧x|x=2kπ，k∈Z}．
∴f（x）=lg（

cosx-1

+

1-cosx

+1）=lg1=0．
函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．命題①為真命題；
對(duì)于②，當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，f（x）=4sin[2×（-

π

6

）+

π

3

]=4sin0=0．
∴圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱(chēng)．命題②為假命題；
對(duì)于③，若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f（1）=1，f（2）=2，
則f（3）=f（3-5）=f（-2）=-f（2）=-2．f（4）=f（4-5）=f（-1）=-f（1）=-1．
∴f（3）-f（4）=-1．命題③為真命題；
對(duì)于④，

sinα

sinβ

=p，

cosα

cosβ

=q，且p≠±1，q≠0，
∴sinα=psinβ，cosα=qcosβ．
sin²α+cos²α=p²sin²β+q²cos²β=（p²-q²）sin²β+q²（sin²β+cos²β）=1．
則sin2β=

1-q2

p2-q2

．
又

tanβ

tanα

=

cosαsinβ

sinαcosβ

=

q

p

．
∴tanαtanβ=

p

q

tan2β=

p

q

sin2β

1-sin2β

=

p

q

1-q2 p2-q2

1- 1-q2 p2-q2

=

p(1-q2)

q(p2-1)

．
命題④為假命題．
∴假命題的序號(hào)是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了三角恒等變換的應(yīng)用，是中檔題．