Question

13．已知函數(shù)f（x）=|1-2x|-|1+x|．
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）若關(guān)于x的不等式a²+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得 a²+2a＞|2x-1|-|2x+2|，再利用絕對值三角不等式求得|2x-1|-|2x+2|的最大值為3，可得a²+2a＞3，求得a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=|1-2x|-|1+x|，故f（x）≥4，即|1-2x|-|1+x|≥4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x+x+1≥4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x-x-1≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-x-1≥4}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，
綜上可得，云不等式的解集為{x|x≤-2，或x≥6}．
（2）關(guān)于x的不等式a²+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，即 a²+2a＞|2x-1|-|2x+2|，
而|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x-2）|=3，故有a²+2a＞3，求得a＜-3，或a＞1．
即實數(shù)a的取值范圍為{a|a＜-3，或a＞1}．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．