Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點．
（1）是否無論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（2）求直線PA與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AC，由已知得BD⊥AC，BD⊥PC，從而BD⊥平面PAC，由此得到不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（2）由PC⊥面ABCD，知∠PAC即為直線PA與底面ABCD所成的角，由此能求出直線PA與底面ABCD所成角的正切值．

解答： 解：（1）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．（1分）
證明如下：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．（6分）
（2）∵PC⊥面ABCD，
∴∠PAC即為直線PA與底面ABCD所成的角，（8分）
由四棱錐P-ABCD的三視圖，知：
AB=1，PC=2，BC=1，
∴AC=

1+1

=

2

，
∴tan∠PAC=

PC

AC

=

2

2

=

2

，
∴直線PA與底面ABCD所成角的正切值為

2

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明及應(yīng)用，考查線面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．