Question

3．過(guò)定點(diǎn)M的直線(xiàn)ax+y-1=0與過(guò)定點(diǎn)N的直線(xiàn)x-ay+2a-1=0交于點(diǎn)P，則|PM|•|PN|的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得M（0，1），N（1，2），且兩直線(xiàn)始終垂直，可得|PM|²+|PN|²=|MN|²=2．由基本不等式可得|PM|•|PN|≤$\frac{|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}}{2}$，驗(yàn)證等號(hào)成立即可．

解答 解：由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)ax+y-1=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（0，1），
動(dòng)直線(xiàn)x-ay+2a-1=0即 x-1+（-a+2）y=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)N（1，2），
∵過(guò)定點(diǎn)M的直線(xiàn)ax+y-1=0與過(guò)定點(diǎn)N的直線(xiàn)x-ay+2a-1=0始終垂直，P又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴有PM⊥PN，
∴|PM|²+|PN|²=|MN|²=2．
故|PM|•|PN|≤$\frac{|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}}{2}$=1（當(dāng)且僅當(dāng)|PM|=|PN|=1時(shí)取“=”）
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．