Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$-2x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a≤$\frac{5}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$，得f'（x）=x²+x-2=（x+1）（x-2），令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=1，f（x），f'（x）的情況列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$，得$f（-2）=\frac{13}{3}$．求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為max{f（-2），f（a）}，由$f（a）≤f（\frac{5}{2}）=\frac{13}{3}$，知$max\{f（-2），f（a）\}=f（-2）=\frac{13}{3}$；再求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為max{f（-a），f（a）}，max{f（-a），f（a）}=f（-a）=$-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$得f'（x）=x²+x-2=（x+1）（x-2），
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=1，f（x），f'（x）的情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-2，1）．
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$可得$f（-2）=\frac{13}{3}$．
當(dāng)-a＜-2即$2≤a≤\frac{5}{2}$時(shí)，由（Ⅰ）可得f（x）在[-a，-2）和（1，a]上單調(diào)遞增，在（-2，1）上單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為max{f（-2），f（a）}，
又由（Ⅰ）可知$f（a）≤f（\frac{5}{2}）=\frac{13}{3}$，
所以$max\{f（-2），f（a）\}=f（-2）=\frac{13}{3}$；
當(dāng)-a≥-2，a≤1，即0＜a≤1時(shí)，由（Ⅰ）可得f（x）在[-a，a]上單調(diào)遞減，f（x）在[-a，a]上的最大值為$f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
當(dāng)-2≤-a，a＞1，即1＜a≤2時(shí)，由（Ⅰ）可得f（x）在[-a，1）上單調(diào)遞減，在（1，a]上單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為max{f（-a），f（a）}，
法1：因?yàn)?f（-a）-f（a）═-\frac{2}{3}a（{a^2}-6）＞0$，
所以$max\{f（-a），f（a）\}=f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
法2：因?yàn)?2≤-a＜-1，1＜a≤2
所以由（Ⅰ）可知$f（-a）＞f（-1）=\frac{19}{6}$，$f（a）≤f（2）=\frac{10}{6}$，
所以f（-a）＞f（a），
所以$max\{f（-a），f（a）\}=f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
法3：設(shè)$g（x）=f（-x）-f（x）=-\frac{2}{3}{x^3}+4x$，則g'（x）=-2x²+4，g（x），g'（x）的在[1，2]上的情況如下表：

x	1	$（1，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$	$（\sqrt{2}，2）$	2
f'（x）		+	0	-
f（x）	$\frac{10}{3}$	↗	極大	↘	$\frac{8}{3}$

所以，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g（x）＞g（0）=0，
所以g（a）=f（-a）-f（a）＞0，即f（-a）＞f（a）
所以max{f（-a），f（a）}=f（-a）=$-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
綜上討論，可知：
當(dāng)$2≤a≤\frac{5}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為$\frac{13}{3}$；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為$f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．