Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$+x．
（1）求函數(shù)值不小于-2時(shí)，x的取值范圍；
（2）求當(dāng)x大于1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由分式不等式的解法：符號(hào)法，結(jié)合二次不等式的解法，即可得到；
（2）將x=x-1+1代入，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（1）由$\frac{2}{x-1}$+x≥-2，
即為$\frac{x（x+1）}{x-1}$≥0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1）≥0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1）≤0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{x≥0或x≤-1}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤0}\\{x＜1}\end{array}\right.$，
即有x＞1或-1≤x≤0；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{2}{x-1}$+x
=（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1=1+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=1+$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值1+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式不等式的解法，考查基本不等式的運(yùn)用，注意變形以及滿足的條件：一正二定三等．