Question

7．設(shè)f（x）為[-1，1]上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，求y=$\sqrt{f（{x}^{2}-3）+f（x+1）}$的值域．

Answer 1

分析 先求函數(shù)函數(shù)的定義域，進(jìn)而求出-1≤x²-3≤1，$-1≤x+1≤1-\sqrt{2}$，從而可求

解答 解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)
∴由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤{x}^{2}-3≤1}\\{-1≤x+1≤1}\end{array}\right.$
解可得，$-2≤x≤-\sqrt{2}$，即函數(shù)的定義域為[-2，-$\sqrt{2}$]．
此時有-1≤x²-3≤1，$-1≤x+1≤1-\sqrt{2}$
由函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)可得，f（-1）≤f（x²-3）≤f（1），f（-1）≤f（x+1）≤f（1）
兩不等式相加可得，$2f（-1）≤f（{x}^{2}-3）+f（x+1）≤f（1）+f（1-\sqrt{2}）$
∵y≥0
∴$0≤y≤\sqrt{f（1）+f（1-\sqrt{2}）}$
故函數(shù)的值域是[0，$\sqrt{f（1）+f（1-\sqrt{2}）}$]

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在求解函數(shù)的值域中的簡單應(yīng)用，解題中要注意函數(shù)的定義域 的應(yīng)用．