Question

已知函數(shù)f（x）=（

x

+

2

）²，（x≥0），又?jǐn)?shù)列{a_n}中a₁=2，其前n項(xiàng)和為S_n，（n∈N^*），對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有S_n=f（S_n-1），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意得{

Sn

}是首項(xiàng)為

2

，公差為

2

的等差數(shù)列，求得Sn=2n2，再利用公式法即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵f(x)=(

x

+

2

)2，Sn=f(Sn-1)=(

Sn-1

+

2

)2
∴

Sn

=

Sn-1

+

2

，∴

Sn

-

Sn-1

=

2

∵

S1

=

a1

=

2

∴{

Sn

}是首項(xiàng)為

2

，公差為

2

的等差數(shù)列．

Sn

=

2

+(n-!)

2

=

2

n，
∴Sn=2n2．n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2
且當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2=4×1-2符合條件∴通項(xiàng)公式為a_n=4n-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義及利用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題．