Question

（2008•天河區(qū)模擬）已知x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，x₁²+x₂²取得最小值？
（2）若x₁、x₂都大于

1

2

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用韋達(dá)定理，得出根與系數(shù)的關(guān)系，利用

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂可構(gòu)建函數(shù)，從而可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）將x₁、x₂都大于

1

2

，轉(zhuǎn)化為（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0，再利用韋達(dá)定理，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根
∵△=16m²-16（m+2）=16（m²-m-2）≥0，
∴m≤-1或m≥2，…（3分）
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=

m+2

4

∴

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=m²-2•

m+2

4

=（m-

1

4

）²-

17

16

，
∴當(dāng)m=-1時(shí)，x₁²+x₂²有最小值．…（7分）
（2）∵x₁、x₂都大于

1

2

∴（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0，
即x₁x₂-

1

2

（x₁+x₂）+

1

4

＞0且x₁+x₂-1＞0，…（10分）
∴

m+2

4

-

1

2

m+

1

4

＞0且m-1＞0，
∴m＜3，且m＞1，…（12分）
又∵△≥0，
∴2≤m＜3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以方程為載體，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是將x₁、x₂都大于

1

2

，轉(zhuǎn)化為（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0．