Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-

3

cosx）+

3

2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)的定義域直接求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（sinx-

3

cosx）+

3

2

=cosxsinx-

3

cos²x）+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin(2x-

π

3

)
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π
令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）
（Ⅱ）由于：0≤x≤

π

2

所以：-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

則：-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1
函數(shù)f（x）的最大值為1，函數(shù)的最小值為-

3

2

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．