Question

11．已知正項數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且對任意的n∈N，S_n=$\sqrt{{{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…+{{a}_{n}}^{3}}$．
（1）求a₁，a₂，a₃ 的值．
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）設(shè)b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}^{2}•{a}_{n+1}^{2}}$，數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由于對任意的n∈N，S_n=$\sqrt{{{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…+{{a}_{n}}^{3}}$．可得${S}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}$．分別令n=1，2，3，聯(lián)立解出即可．
（2）由（1）猜想a_n=n．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（3）b_n=$\frac{2n+1}{{n}^{2}•（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵對任意的n∈N，S_n=$\sqrt{{{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…+{{a}_{n}}^{3}}$．∴${S}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}$．

∴分別令n=1，2，3，可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}={a}_{1}^{3}}\\{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}={a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}}\\{（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）^{2}={a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+{a}_{3}^{3}}\end{array}\right.$，a_n＞0，（?n∈N^*）解得a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）猜想a_n=n．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（i）當(dāng)n=1時，a₁=1成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時，a_k=k（k∈N^*）成立，S_k=$\frac{k（k+1）}{2}$．
則當(dāng)n=k+1時，∵${S}_{k+1}^{2}$=${a}_{1}^{3}$+${a}_{2}^{3}$+…+${a}_{k}^{3}$+${a}_{k+1}^{3}$=${S}_{k}^{2}$+${a}_{k+1}^{3}$．
∴$（{S}_{k}+{a}_{k+1}）^{2}$=${S}_{k}^{2}$+${a}_{k+1}^{3}$．
化為2×$\frac{k（k+1）}{2}$a_k+1+${a}_{k+1}^{2}$=${a}_{k+1}^{3}$＞0．
∴${a}_{k+1}^{2}$-a_k+1-k（k+1）=0，
解得a_k+1=k+1．
∴當(dāng)n=k+1時，a_k+1=k+1，結(jié)論成立．
綜上可得：?n∈N^*，a_k=k成立．
（3）b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}^{2}•{a}_{n+1}^{2}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}•（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴數(shù)列{b_n}前n項和T_n=$（\frac{1}{{1}^{2}}-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$
=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式、數(shù)學(xué)歸納法、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．