【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在處的切線與直線垂直,求直線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,且,證明:.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù),再根據(jù)點斜式方程得到直線的方程.(Ⅱ)由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且當(dāng)時,.不妨設(shè),此時.故要證,只需證,只需證,然后構(gòu)造函數(shù),可證得時,單調(diào)遞減,進(jìn)而可得結(jié)論成立.
(Ⅰ)解:∵,
∴,
∴,
∵切線與直線垂直,
∴,故.
∴,
∴直線方程為,即.
(Ⅱ)證明:
由(Ⅰ)知,
∴當(dāng)時,;當(dāng)時, .
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又,
∴當(dāng)時,.
根據(jù)題意不妨設(shè),此時,
故要證,
只需證,
只需證.
因為,故 只需證.
設(shè),
則,
∴當(dāng)時,單調(diào)遞減,
∴時,,
即,
∴當(dāng)時,,
∴,
∴,
又函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,
∴.
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【題目】將方格表的每個方格任意填入或,然后允許進(jìn)行如下操作:每次任意選擇一行(或列),將這一行(或列)中的數(shù)全部變號.若無論開始時方格表的數(shù)怎樣填,總能經(jīng)過不超過次操作,使得方格表每一行中所有數(shù)的和、每一列中所有數(shù)的和均非負(fù).試確定的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論極值點的個數(shù);
(2)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在y軸上,離心率,橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且.
(1)求橢圓方程;
(2)求的取值范圍.
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【題目】設(shè)外接圓上三段弧的中點依次為,其關(guān)于的對稱點依次為.若頂點與對應(yīng)旁切圓切點的連線交于一點 (界心),為的垂心,證明:在以為直徑的圓上.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)當(dāng)a=0時,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=2時,若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在區(qū)間(1,3)上恰有兩個不同零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】為抗擊新冠病毒,某部門安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作需要,每地至少需安排一名專家,其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作,丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作,則不同的分配方法總數(shù)為( )
A.18B.24C.30D.36
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【題目】在校園籃球賽中,甲、乙兩個隊10場比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖,下列說法正確的是( )
A.乙隊得分的中位數(shù)是38.5
B.甲、乙兩隊得分在分?jǐn)?shù)段頻率相等
C.乙隊的平均得分比甲隊的高
D.甲隊得分的穩(wěn)定性比乙隊好
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