Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求直線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程得到直線的方程．（Ⅱ）由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，．不妨設(shè)，此時(shí)．故要證，只需證，只需證，然后構(gòu)造函數(shù)，可證得時(shí)，單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論成立．

（Ⅰ）解：∵，

∴，

∴，

∵切線與直線垂直，

∴，故．

∴，

∴直線方程為，即．

（Ⅱ）證明：

由（Ⅰ）知，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ．

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又，

∴當(dāng)時(shí)，．

根據(jù)題意不妨設(shè)，此時(shí)，

故要證，

只需證，

只需證．

因?yàn)?/span>，故 只需證．

設(shè)，

則，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

∴時(shí)，，

即，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴，

又函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

∴．