Question

如圖，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．

（Ⅰ）點(diǎn)是直線(xiàn)中點(diǎn)，證明平面；
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

試題分析：（Ⅰ）點(diǎn)是直線(xiàn)中點(diǎn)，證明平面；證明線(xiàn)面平行，主要是證明線(xiàn)線(xiàn)平行，證明線(xiàn)線(xiàn)平行的方法有兩種，一種利用三角形的中位線(xiàn)，另一種是利用平行四邊形對(duì)邊平行，此題不符合利用三角形的中位線(xiàn)，可考慮構(gòu)造平行四邊形來(lái)證，取的中點(diǎn)連結(jié)，證明即可，故只需證明且即可，由作法可知，，為此取的中點(diǎn)，連結(jié)，證明即可；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值，處理方法有兩種，一傳統(tǒng)方法，二向量法，傳統(tǒng)方法首先確定二面角，過(guò)作的平行線(xiàn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，連結(jié)，注意到棱垂直平面，∴是所求二面角的平面角，從而求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值，向量法，建立空間坐標(biāo)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，主要找兩個(gè)平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為．只需設(shè)平面的法向量為，由題意求出法向量為即可．
試題解析：（Ⅰ）證明：
取的中點(diǎn)連結(jié)，則
，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
∵且，∴△是正三角形，∴．

∴四邊形為矩形，∴．      4分
又∵，
∴且，四邊形是平行四邊形．
∴，而平面，平面，∴平面．6分
（Ⅱ）（法1）過(guò)作的平行線(xiàn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，連結(jié)，
∵，∴，
是平面與平面所成二面角的棱．    8分
∵平面平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．      10分
設(shè)，則，，
∴，                       
∴．    12分
（法2）∵，平面平面，
∴以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi)（如圖）．設(shè)，由已知，得，，．

∴，，       8分
設(shè)平面的法向量為，
則且，
∴∴
解之得
取，得平面的一個(gè)法向量為.            10分
又∵平面的一個(gè)法向量為．   10分
．   12分