Question

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

(1)見(jiàn)試題解析；（2）.

試題分析：（I）要證明平面，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與直線平行的直線，本題就想是否有一個(gè)過(guò)直線的平面與平面相交，交線就是我們要找的平行直線（可根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知），在圖形中可容易看出應(yīng)該就是平面，只不過(guò)再想一下，交線到底是什么而已，當(dāng)然具體輔助線的作法也可換成另一種說(shuō)法（即試題解析中的直接取中點(diǎn)，然后連接的方法）；（2）由于平面，所以三棱錐的體積可以很快求出，從而本題可用體積法求點(diǎn)到平面的距離，另外由于，如果取中點(diǎn)，則有，從而可得平面，也即平面平面，這時(shí)點(diǎn)到平面的垂線段可很快作出，從而迅速求出結(jié)論.
試題解析：（I）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．

由已知得且，
又是的中點(diǎn)，則且，是平行四邊形， ∴
又平面，平面 平面
（II）設(shè)平面的距離為，
【法一】：因平面，故為與平面所成角，所以，
所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．
作于，因，則
，
則，
因所以
【法二】因平面，故為與平面所成角，所以，
所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．
作于，連結(jié)，因，則為的中點(diǎn)，故
所以平面，所以平面平面，作于，則平面，所以線段的長(zhǎng)為平面的距離.
又，
所以.