Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（1-$\frac{1}{x}$）  （a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）的最小值為0，求a；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）-lna_n+2，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（如[3.1]=3），求S_n=[a₁]+[a₂]+…+[a_n]．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求得a的值；
（3）利用歸納推理，猜想當(dāng)n≥3，n∈N時，1＜a_n＜2，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得f（x）定義域為（0，+∞）     …（1分）
∵f?（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a}{x}$
當(dāng)a≤0時，f?（x）＞0∴f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），無減區(qū)間．
當(dāng)a＞0時，x∈（0，a）時，f?（x）＜0
x∈（a，+∞）時，f?（x）＞0
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）  …（4分）
（2）由（1）知當(dāng)a≤0時，f（x）無最小值
當(dāng)a＞0時，f（x）_min=f（a）=lna-a+1=0∴a=1   …（6分）
（3）∵a=1∴f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1∴a_n+1=f（a_n）-lna_n+2=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1    …（7分）
∵a₁=1∴a₂=2    a₃=$\frac{3}{2}$     a₄=$\frac{5}{3}$
下面證明當(dāng)n≥3時，a_n∈（1，2）
1°當(dāng)n=3時，a₃=$\frac{1}{2}$∴a₃∈（1，2）
2°設(shè)a_n∈（1，2）∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1∴a_n+1∈（1，2）
綜合1°，2°可知當(dāng)n≥3時，a_n∈（1，2）…（10分）
∴[a₁]=1[a₂]=2[a₃]=[a₄]=…=[a_n]=1∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1\\;\\;\\;n=1}\\{n+1\\;\\;\\;n≥2}\end{array}\right.$..…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等，屬難題．