Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-2|x+a|+3a（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)a=-$\frac{1}{4}$，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=2^x，若對(duì)任意x₁≤0，存在x₂∈[-3，+∞]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義，即可得到a=0；
（2）討論x的范圍，去絕對(duì)值，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性，即可得到增區(qū)間；
（3）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得g（x）的最小值，再由絕對(duì)值不等式可得-x²-3a+$\frac{1}{8}$≤2x+2a≤x²+3a-$\frac{1}{8}$，運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
即為f（x）為偶函數(shù)，即有f（-x）=f（x），
f（-x）=（-x）²-2|-x+a|+3a=x²-2|x+a|+3a，
即有|a-x|=|a+x|對(duì)x∈R恒成立，
即有a=0；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=x²-2|x-$\frac{1}{4}$|-$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x≥$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=x²-2x-$\frac{1}{4}$=（x-1）²-$\frac{5}{4}$，
對(duì)稱軸為x=1，即有f（x）在（1，+∞）遞增；
當(dāng)x＜$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=x²+2x-$\frac{5}{4}$=（x+1）²-$\frac{9}{4}$，
對(duì)稱軸為x=-1，即有f（x）在（-1，$\frac{1}{4}$）遞增．
綜上可得，f（x）的增區(qū)間為（-1，$\frac{1}{4}$），（1，+∞）；
（3）函數(shù)g（x）=2^x在[-3，+∞）的值域?yàn)閇$\frac{1}{8}$，+∞），
由題意可得x²-2|x+a|+3a≥$\frac{1}{8}$對(duì)x≤0恒成立，
即有2|x+a|≤x²+3a-$\frac{1}{8}$，即為-x²-3a+$\frac{1}{8}$≤2x+2a≤x²+3a-$\frac{1}{8}$，
即有5a≥-x²-2x+$\frac{1}{8}$，且a≥-x²+2x+$\frac{1}{8}$，
由-x²-2x+$\frac{1}{8}$=-（x+1）²+$\frac{9}{8}$，-x²+2x+$\frac{1}{8}$=-（x-1）²+$\frac{9}{8}$，
由于x≤0，-x²-2x+$\frac{1}{8}$在x=-1處取得最大值$\frac{9}{8}$，
-x²+2x+$\frac{1}{8}$在x=0處取得最大值$\frac{1}{8}$．
即有5a≥$\frac{9}{8}$，且a≥$\frac{1}{8}$，
解得a≥$\frac{9}{40}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，及不等式恒成立與存在性問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．